Also das akzeptiere ich als Erklärung. Ich würde es aber anders herleiten, weil es einfach mehr hermacht
:
Um die Anzahl der Teiler einer Zahl n herauszufinden, zerlegen wir n in Primfaktoren. Jede natürliche Zahl kann in Primfaktoren zerlegt werden, zB.
n = 28 = 2 * 2 * 7 =2^2 * 7^1.
Allgemein: n = p1^k1 * p2^k2 * .... hat dann (k1+1) * (k2+1) * ... Teiler
EDIT: ich vergaß zu erwähnen, warum das so ist:
Potenzen der Primzahl 5, at = Anzahl Teiler:
n = 5 = 5^1; Teiler: 1,5; at(n)=2
n = 25 = 5^2; Teiler: 1,5,5^2; at(n)=3
n = 125 = 5^3; Teiler: 1,5,5^2,5^3; at(n)=4
Die Regel ist also, Anzahl der Teiler einer potentierten Primzahl ist at(p^k)=k+1
Das Produkt, also die Anzahl der Teiler von n, ist dann gerade, wenn einer der Faktoren gerade ist. Damit das Produkt ungerade wird, müssen also alle ki gerade sein (dann sind alle ki +1 ungerade). Da ki gerade sein soll, kann man ki = 2 * mi schreiben, es gilt also n = p1^2m1 * p2^2m2 * ... = (p1^m1 * p2^m2 ...)^2
=> Quadratzahl => ungerade Anzahl von Teilern.
Serpel hat das Spiel.
