Ziegenpeter
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Ähm.. die WS ist konstant...
Der Knobelthread
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Ziegenpeter
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Du magst das Kreisbeispiel anscheinend nicht 
Aber es macht es einfacher.
P1, P2 beliebig, P3 beliebig. Welche Möglichkeiten gibt es für P1 und P2 damit das Dreieck P1, P2, P3 den Mittelpunkt enthält im gewählten Beispiel (EDIT: und wieviele Möglichkeiten gibt es insgesamt im Beispiel P1 und P2 zu verteilen)?
Aber es macht es einfacher.P1, P2 beliebig, P3 beliebig. Welche Möglichkeiten gibt es für P1 und P2 damit das Dreieck P1, P2, P3 den Mittelpunkt enthält im gewählten Beispiel (EDIT: und wieviele Möglichkeiten gibt es insgesamt im Beispiel P1 und P2 zu verteilen)?
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Ziegenpeter
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Gast 23088
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...ich stehe gerade auf dem Schlauch. Wenn erst ein Punkt gesetzt ist, kann P2 überall liegen, auch sehr nahe an P3. Wenn der zweite Punkt gesetzt ist, bleibt für den dritten nur der Bereich, der durch zwei Geraden von den ersten Punkten durch den Mittelpunkt auf der gegenüberliegenden Seite des Kreises begrenzt wird - dabei bleibe ich auch im Kreisbeispiel 
Muss jetzt los, leider...
Muss jetzt los, leider...
Ziegenpeter
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Du kannst die Geraden durch den Mittelpunkt, die P1 und P2 definieren, doch beliebig setzen, egal wo! Ob der Mittelpunkt dann im Dreieck liegt wird nur dadurch beeinflusst auf welcher Seite der Geraden du P1 und P2 setzt! Wieviele Möglichkeiten gibt es dann P1 und P2 auf den gewählten Geraden zu setzen? Die Anzahl der Möglichkeiten ändert sich nicht, egal wo du die Geraden platzierst!
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Gast 23088
Gast
Ich bin zu blöd, ich sehe das anhand Deiner vier Bereiche nicht. Wenn ich die im Uhrzeigersinn durchnummeriere, mit 1 für den, in dem sich P3 befindet, dann sind z.B. P1 und P2 beide in 1 oder auch in 1 und 2 eindeutig ungünstig. Aber bei den Kombinationen z.B. P1 in 2 und P2 in 4 gibt es sowohl günstige als auch ungünstige... 
Edit: In der Grafik P1 und P2 günstig. P1' und P2' ungünstig:
Edit: In der Grafik P1 und P2 günstig. P1' und P2' ungünstig:
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Ziegenpeter
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Du bist nicht zu blöd, vielleicht beschreibe ich es auch nicht gut genug 
. Ich habe eine Lösung zusammengeschrieben, soll ich die mal hier posten oder willst du noch probieren?
. Ich habe eine Lösung zusammengeschrieben, soll ich die mal hier posten oder willst du noch probieren?
Ziegenpeter
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Es geht um die Geraden die die Bereiche definieren. P1 und P2 sollen sich auf den Geraden befinden (Schnittpunkte mit dem Umfang)!
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Ziegenpeter
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Ich poste einfach mal die Lösung:
Puh, jetzt hoffe ich, daß das auch einigermaßen verständlich ist
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 4 zufällig platzierten Punkten auf der Oberfläche einer Kugel, sich der Mittelpunkt der Kugel innerhalb des Tetraeders befindet der durch die 4 Punkte aufgespannt wird?
Schauen wir zuerst das Problem in 2 Dimension an: wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 3 zufällig gewählten Punkten auf dem Umfang eines Kreises sich der Kreismittelpunkt im Inneren des Dreiecks befindet, das durch die 3 Punkte aufgespannt wird?
Wir teilen den Umfang des Kreises in 4 Teile, indem wir 2 beliebige Geraden durch den Kreismittelpunkt legen.
Die 2 Geraden teilen den Umfang in 4 Bereiche:
[B2, B1‘], [B1‘, B2‘], [B2‘, B1] und [B1, B2]
Wir platzieren den Punkt P3 an einer beliebigen Stelle auf dem Kreisumfang.
Egal wie man die Geraden durch den Mittelpunkt legt (nur deckungsgleiche Geraden sind ausgeschlossen), es wird immer 4 Bereiche geben. In einem dieser Bereiche wird sich P3 befinden und abhängig davon ob wir P2=B2 oder B2‘ setzen und P1=B1 oder B1‘ setzen wird sich der Kreismittelpunkt im Dreieck befinden oder nicht. Das gilt für alle möglichen Geraden die man legen kann!
Im Beispiel muss P1=B1 sein (1 aus 2, Wahrscheinlichkeit = 1/2) und P2=B2‘ (1 aus 2, Wahrscheinlichkeit = 1/2), dann befindet sich der Mittelpunkt im Dreieck, bei allen anderen Zuweisungen von P1 und P2 ist dies nicht der Fall. Nochmal, da die Platzierung der Geraden und damit der Bereiche sowie des Punktes P3 beliebig sind, haben sie keinen Einfluß auf die Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit wird also nur durch die jeweils 2 Möglichkeiten P1 und P2 festzulegen (am einen oder am anderen Ende der Strecke) bestimmt und beträgt also 1/2 * 1/2 = 1/4.
Was ändert sich jetzt, wenn man das Ganze auf eine Kugel und den durch 4 beliebige Punkte aufgespannten allgemeinen Tetraeder anwendet? Wir haben dann 3 Geraden (anstatt 2), die durch den Kugelmittelpunkt gehen und Bereiche auf der Kugeloberfläche definieren, sowie einen Punkt P4 der sich, analog zu P3 im 2 dimensionalen Fall, genau in dem einen Bereich auf der Kugeloberfläche befinden muss der P1...P3 gegenüber liegt. Wir haben also im dreidimensionalem Fall einen Punkt mehr (P3), der sich entweder auf der einen oder anderen Seite der Strecke befinden kann wobei nur eine Seite das gewünschte Ergebnis bringt, die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist damit 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/8.
Diese Aufgabe stammt aus einem Putnam Wettbewerb
Putnam Wiki
von 1992, Aufgabe A-6: https://kskedlaya.org/putnam-archive/1992.pdf
Für Masochisten hier eine Herleitung für n Punkte, Wahrscheinlichkeit für n+1 Punkte ist 1/2^n:
Capturing the Origin with Random Points: Generalizations of a Putnam Problem
Puh, jetzt hoffe ich, daß das auch einigermaßen verständlich ist
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 4 zufällig platzierten Punkten auf der Oberfläche einer Kugel, sich der Mittelpunkt der Kugel innerhalb des Tetraeders befindet der durch die 4 Punkte aufgespannt wird?
Schauen wir zuerst das Problem in 2 Dimension an: wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 3 zufällig gewählten Punkten auf dem Umfang eines Kreises sich der Kreismittelpunkt im Inneren des Dreiecks befindet, das durch die 3 Punkte aufgespannt wird?
Wir teilen den Umfang des Kreises in 4 Teile, indem wir 2 beliebige Geraden durch den Kreismittelpunkt legen.
Die 2 Geraden teilen den Umfang in 4 Bereiche:
[B2, B1‘], [B1‘, B2‘], [B2‘, B1] und [B1, B2]
Wir platzieren den Punkt P3 an einer beliebigen Stelle auf dem Kreisumfang.
Egal wie man die Geraden durch den Mittelpunkt legt (nur deckungsgleiche Geraden sind ausgeschlossen), es wird immer 4 Bereiche geben. In einem dieser Bereiche wird sich P3 befinden und abhängig davon ob wir P2=B2 oder B2‘ setzen und P1=B1 oder B1‘ setzen wird sich der Kreismittelpunkt im Dreieck befinden oder nicht. Das gilt für alle möglichen Geraden die man legen kann!
Im Beispiel muss P1=B1 sein (1 aus 2, Wahrscheinlichkeit = 1/2) und P2=B2‘ (1 aus 2, Wahrscheinlichkeit = 1/2), dann befindet sich der Mittelpunkt im Dreieck, bei allen anderen Zuweisungen von P1 und P2 ist dies nicht der Fall. Nochmal, da die Platzierung der Geraden und damit der Bereiche sowie des Punktes P3 beliebig sind, haben sie keinen Einfluß auf die Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit wird also nur durch die jeweils 2 Möglichkeiten P1 und P2 festzulegen (am einen oder am anderen Ende der Strecke) bestimmt und beträgt also 1/2 * 1/2 = 1/4.
Was ändert sich jetzt, wenn man das Ganze auf eine Kugel und den durch 4 beliebige Punkte aufgespannten allgemeinen Tetraeder anwendet? Wir haben dann 3 Geraden (anstatt 2), die durch den Kugelmittelpunkt gehen und Bereiche auf der Kugeloberfläche definieren, sowie einen Punkt P4 der sich, analog zu P3 im 2 dimensionalen Fall, genau in dem einen Bereich auf der Kugeloberfläche befinden muss der P1...P3 gegenüber liegt. Wir haben also im dreidimensionalem Fall einen Punkt mehr (P3), der sich entweder auf der einen oder anderen Seite der Strecke befinden kann wobei nur eine Seite das gewünschte Ergebnis bringt, die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist damit 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/8.
Diese Aufgabe stammt aus einem Putnam Wettbewerb
Putnam Wiki
von 1992, Aufgabe A-6: https://kskedlaya.org/putnam-archive/1992.pdf
Für Masochisten hier eine Herleitung für n Punkte, Wahrscheinlichkeit für n+1 Punkte ist 1/2^n:
Capturing the Origin with Random Points: Generalizations of a Putnam Problem
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Gast 23088
Gast
Ich habe (wie ja meine Grafik zeigt) "auf welcher Seite der Geraden" komplett falsch verstanden. Ich dachte Du meinst damit, in welchem der vier Bereiche, Du meintest aber auf welchem der beiden Schnittpunkte jeder Geraden (was Du ja später dann konkretisiert hast).
Jetzt ist es klar!
Ziegenpeter
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Schau dir mal die Aufgaben des Wettbewerbes an und im Wiki wer da teilnimmt... Ich weiss ja nicht wieviele der Aufgaben die Besten da in den 6 Stunden, die sie dafür haben lösen, aber ich bin vermute dass da manch gestandener Mathematiker unter Zeitdruck abschiffen würde... ist wohl was für hochbegabte Menschen...Ich habe (wie ja meine Grafik zeigt) "auf welcher Seite der Geraden" komplett falsch verstanden. Ich dachte Du meinst damit, in welchem der vier Bereiche, Du meintest aber auf welchem der beiden Schnittpunkte jeder Geraden (was Du ja später dann konkretisiert hast).
Jetzt ist es klar!
Larsi
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Das war ja einfach 
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Gast 23088
Gast
Da bin ich als schlichter Ökonom definitiv raus....
Serpel hatte es bestimmt längst gelöst und grinst die ganze Zeit still vor sich hin...
Ziegenpeter
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VermutlichSerpel hatte es bestimmt längst gelöst und grinst die ganze Zeit still vor sich hin...
Dein Spiel. Ich bin raus, mein Gehirn ist unterzuckert weil die Plätzchen sind alle und kein Nachschub da
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Gast 23088
Gast
Ziegenpeter
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Aus dem Paper mit der generalisierten Lösung:Despite the fact that the original Putnam question is so easily understood, the solution is (not surprisingly) not arrived at with equal ease. This sentiment is supported by the fact that 123 of the top 203 scorers on the Putnam exam submitted no solution at all to problem A-6, and a relatively low number of 9 of the top scorers received a full 10 points for the problem.
G
Gast 23088
Gast
Das tröstet mich etwas
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Gast 23088
Gast
Pausenfüller:
Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit dieses Integral konvergiert?
Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit dieses Integral konvergiert?
Ziegenpeter
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sorry, hatte deinen Post nicht gesehen, das ist was für Serpel ...
G
Gast 23088
Gast
Das kannst Du auch! Tip: Ersetze erstmal -alpha/beta durch z.B. m, dann musst Du nur das Integral x^m lösen...
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