Ich würde ein Mopped für über 20K nie von privat kaufen, nur vom Händler mit Garantie. Wobei man auch diese Garantie hinterfragen muss: Wenn der Händler 500 km weg ist, wird jede Garantiereparatur ein Akt, wenn ich den Bock vorbeibringen muss.
Bei den Kfz, die ich in den letzten Jahren für deutlich unter 10K gekauft habe, habe ich das so gemacht: Hingefahren, nie den vollen Kaufpreis dabei gehabt, mit dem Verkäufer Preis ausgehandelt, Kaufvertrag abgeschlossen - damit sind wir beide rechtlich gebunden. Dann dem Verkäufer Anzahlung angeboten (einem haben 50 Euro gereicht, ein anderer wollte 1/4 der Kaufsumme), Anzahlung geleistet, im Kaufvertrag vermerkt, Kennzeichen und Papiere mitgenommen, nach hause gefahren. (So kannst du auch allein auf dem Motorrad zu einem Motorradkauf fahren). Danach zuhause aufs Amt gegangen, Mopped auf meinen Namen zugelassen, Restbetrag in Bar besorgt, Fahrgelegenheit zum Verkäufer organisiert (einer war so nett, mich vom Bahnhof abzuholen), zum Verkäufer gefahren, neues Nummernschild drangeschraubt, Restkaufsumme bezahlt und quittieren lassen, Fahrzeug eigenhändig heimgefahren.
Vorteil: Der Verkäufer muss keine Angst haben, dass man das Mopped nicht ummeldet. Ich muss kein Kurzzeitkennzeichen besorgen oder gar mit einem Hänger vorfahren, wenn ich noch gar nicht weiß, ob ich das Ding überhaupt kaufen will.
Nachteil: Ich muss zweimal fahren, und das Überführen auf eigener Achse geht nur, wenn das Fahrzeug fahrtauglich ist.
Übrigens: Auch bei meinem neuen Motorrad, das ich vom Händler gekauft habe, hat mir der Händler die Papiere mitgegeben, bevor ich es bezahlt habe. Dann habe ich das Motorrad auf meinen Namen angemeldet, das Geld überwiesen, bin mit dem Nummernschild hingefahren und habe es abgeholt.