Die Lösung von FrankS ist richtig, allerdings vielleicht nicht für jeden unmittelbar verständlich da die Begründung etwas ”high level” ist, deshalb vielleicht auch immer die Diskussionen um Skeptiker zu überzeugen
. Also es gibt natürlich mehrere Möglichkeiten das (auch kompakt) zu beweisen, einige davon setzen aber etwas fortgeschrittene Kenntnisse voraus, deshalb mal hier eine (hoffentlich wasserdichte) Herleitung die ohne grössere Vorkenntnisse nachvollziehbar ist (ich sage nicht, dass man alles beim ersten Durchlesen verdaut haben muss, aber ich habe mir viel Mühe gegeben
) und auch hier geht ein Teil der Credits ans Internet das die Lösung inspiriert hat.
Eine Lösungsmöglichkeit
Am Anfang, wenn der Kandidat eine Tür auswählt, hat er mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 das Auto gewonnen. Ignoriert er also danach alles was der Showmaster nach seiner ersten Auswahl macht, bleibt die Wahrscheinlichkeit bei 1/3. Das ist klar.
Lässt sich der Kandidat vom Showmaster beeinflussen, d.h. er entscheidet sich noch einmal neu, völlig unbeeinflusst von seiner vorherigen Wahl, eine der beiden jetzt noch geschlossenen Türen zu öffnen, dann entspricht das einem neuen Experiment, einer neuen Wahl aus zwei Möglichkeiten und die Gewinnwahrscheinlichkeit erhöht sich auf 1/2.
Soweit, so gut. Was passiert aber wenn er, anstatt sich noch einmal frisch zwischen den beiden verbliebenen Türen zu entscheiden, immer die Strategie verfolgt nicht bei seiner ersten Entscheidung zu bleiben, sondern die andere Tür zu nehmen?
Wenn man jetzt ein Programm schreibt das diese Strategie abbildet und sehr oft laufen lässt, wird man sehen, dass (auch bei nicht perfektem Zufallsgenerator) sich die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen bei der Strategie „wechsle immer die Tür“ auf 2/3 erhöht.
Das ist doch auf den ersten Blick überraschend, oder? Also ich finde schon. Warum?
Um das herauszufinden braucht man eigentlich kein großes Wissen der Wahrscheinlichkeitsrechnung aber man muss die Interessanten Fälle herausfinden, zählen und bewerten, deshalb kommt man um etwas Formalisierung nicht herum.
Die wichtige Information kann man mit einem Zahlentripel darstellen:
(Tür hinter der das Auto steht, Tür die der Kandidat beim ersten Mal gewählt hat, Tür die der Showmaster öffnet), also,z.B. (1,2,3) für Auto steht hinter Tür 1, Kandidat wählt Tür 2 und Showmaster öffnet Tür 3.
Es gibt also 27 verschiedene Tripel, da jede Position im Tripel 3 Werte annehmen kann (Tür 1, Tür 2, oder Tür 3). Allerdings ist nicht jedes Tripel im Spiel erlaubt, wir haben ja gesagt, dass der Showmaster niemals von sich aus die Tür öffnen wird, hinter der das Auto steht. Damit fallen alle Kombinationen raus in denen der Wert der ersten Position dem der dritten Position entspricht (1,1,1) (1,2,1) (1,3,1), (2,1,2) (2,2,2) (2,3,2), (3,1,3) (3,2,3) (3,3,3) Außerdem wird der Showmaster niemals die Tür öffnen die der Spieler gewählt hat, as fallen also noch die folgenden raus: (1,1,1) (1,2,2) (1,3,3) (2,1,1) (2,2,2) (2,3,3) (3,1,1) (3,2,2) (3,3,3). Drei Kombinationen sind in Beiden Mengen enthalten, es fallen also insgesamt 15 der 27 Kombinationen als unzulässig raus.
Die Wahrscheinlichkeit dass das Auto hinter einer bestimmten Tür i steht ist ja 1/3 (siehe ganz oben). Das heisst also, das 1/3 teilt sich auf alle Kombinationen aller Tripel mit der gleichen Tür auf, insgesamt also auf 9 Fälle, also zB. Bei Tür 1 gibt es zB. den Fall (1,1,1) - der ist aber im Spiel nicht erlaubt (siehe oben), er bekommt also nichts von der 1/3 Wahrscheinlichkeit ab die sich auf alle Tür 1 Tripel verteilt, (1,1,2) ist erlaubt, wird also mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit eintreten.
Jetzt müssen wir den Fall betrachten, dass sich das Auto hinter Tür i befindet und der Spieler auf Tür j zeigt: (i,j) Hier gibt es nur noch 3 Fälle wenn i und j festgelegt sind (i,j,1) (i,j,2) (i,j,3). Es sind aber wieder nicht alle Fälle im Spiel erlaubt zB bei i=2 und j=3 ist (2,3,1) erlaubt, (2,3,2) ist nicht erlaubt und (2,3,3) ist auch nicht erlaubt oder aber bei i=1 und j=1 ist (1,1,1) nicht erlaubt, (1,1,2) erlaubt und (1,1,3) ist erlaubt. Abhängig vom gewählten i und j gibt es also unterschiedlich viele im Spiel erlaubte Elemente. Das macht es eben etwas komplizierter. Hat der Spieler auf die richtige Tür gezeigt, hat der Showmaster 2 Möglichkeiten eine Tür anzubieten, hat der Spieler auf die falsche Tür gezeigt, hat der Showmaster nur noch eine Möglichkeit.
Mit all den Vorüberlegungen kann man jetzt folgende Tabelle mit Wahrscheinlichkeiten ausfüllen, die Tabelle bildet alle Möglichkeiten für eine Tür (Tür 1) ab, also 1/3 ALLER Fälle, die Wahrscheinlichkeit aller Fälle für diese Tür muss also 1/3 betragen.
I,j,k P
1,1,1 0 Nicht erlaubt
1,1,2 1/18 *
1,1,3 1/18 *
————————————-
1,2,1 0 Nicht erlaubt
1,2,2 0 Nicht erlaubt
1,2,3 1/9 **
————————————-
1,3,1 0 Nicht erlaubt
1,3,2 1/9 **
1,3,3 0 Nicht erlaubt
* die Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Sektion der Tabelle trägt 1/3 des Drittels der Gesamttabelle bei, also insgesamt 1/9, da ein Fall in der Sektion nicht erlaubt ist, teilt sich die Wahrscheinlichkeit gleich auf die beiden anderen Fälle auf da wir annehmen dass der Showmaster, wenn er denn eine Wahl hat, die Tür zufällig wählt.
** diese Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Sektion der Tabelle trägt 1/3 des Drittels der Gesamttabelle bei, also insgesamt 1/9, da zwei Fälle in der Sektion nicht erlaubt sind (der Showmaster hat keine Wahl), erhält der verbleibende Fall 1/9.
Die Wahrscheinlichkeiten für „Auto hinter Tür 2 / 3“ sind analog zu der Tabelle oben.
So, mit all diesen Vorüberlegungen kann man jetzt (aber wirklich einfach) die Ursprüngliche Frage beantworten ob es die beste Strategie ist, als Kandidat IMMER die gewählte Tür zu wechseln, nachdem der Showmaster eine geöffnet hat.
Von allen 27 Kombinationen bilden genau 6 Fälle die Situation ab, in denen das Auto hinter der Tür ist, auf die der Kandidat nicht gezeigt hat und wo der Showmaster natürlich die andere Tür geöffnet hat: (1,2,3) (1,3,2) (2,1,3) (2,3,1) (3,1,2) (3,2,1). In all diesen Fällen wird der Kandidat gewinnen, wenn er sich umentscheidet. Nach unseren Vorüberlegungen (siehe Tabelle) haben alle Möglichkeiten mit i # j # k, also Tripel mit unterschiedlichen Zahlen, die Wahrscheinlichkeit 1/9. 6 mal 1/9 ergibt 2/3.
Zusammengefasst:
Ignoriert der Kandidat den Showmaster ist seine Chance 1/3
Würfelt der Kandidat seine Entscheidung, nachdem der Showmaster eine Tür geöffnet hat neu aus, dann ist seine Chance 1/2.
Wechselt der Kandidat, nachdem der Showmaster eine Tür geöffnet hat die Tür, sind seine Gewinnchancen 2/3!
